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viernes, 25 de noviembre de 2016

Inducción Incompleta 


 Acabo de leer la entrada de Tito Eliatron Dixit y me decidí por hacer un aporte que va en su misma línea. No para superponer sino para sumar. 
 Por latitudes rioplatenses tenemos un dicho: "todo bicho que camina va a parar al asador" que hace alusión a nuestra tendencia a no perder oportunidad de hacer una barbacoa. Pero el dicho tiene otras dos interpretaciones. Una es que la usamos cuando queremos decir que nada se desperdicia y la otra es que si un recurso nos resulta útil lo empleamos hasta el cansancio. 
Es bastante frecuente observar en muchos estudiantes este comportamiento. Para "tal" problema aplico "tal" procedimiento (y cuando esto no funciona se quedan paralizados). Lo que, para ir entrando en tema, se traduce en "si de n depende, saldrá por inducción". 



“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, 

que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes” 

cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”




 En mi país estudiamos el Principio de Inducción Completa y demostraciones por Inducción en el segundo año de bachillerato. Luego se retoma en cursos de Matemática Discreta en los primeros semestres de la universidad. Fundamentalmente aquellos cursos relativos a Matemática e Informática.

 Algunas veces perdemos el foco en los ejercicios que proponemos. Puros cálculos algebraicos para demostrar fórmulas para el cálculo de sumas o probar desigualdades (mecánicamente aburridos). A veces es tal el abuso que, al evaluar, ponemos más énfasis en los errores operatorios que en la aplicación del método. 

 A los ejemplos de José Antonio sumo alguno más. Intentar demostrar que para todo natural n siempre se cumple que 


o que


puede ser algo engorroso aplicando I.C. Como mínimo habría que gastar mucho de papel. Sin embargo, aplicando aritmética modular ambas se resuelven en pocos renglones. Esto hace que aplicar Inducción en estos casos es un derroche de energía.

 Por lo dicho hasta ahora, soy de la opinión de que es muy importante ver ejemplos donde la aplicación de Inducción Completa no solo sea realmente útil sino que también sea la opción más inteligente. Y para eso hay muchos ejemplos bonitos. 

 Problema 1: 

  Uno muy conocido y que está muy bien documentado en este post de culturacientifica.com es el siguiente:

Demostrar que es posible cubrir un tablero de ajedrez "defectuoso" con fichas de triminó en L sin que las fichas se superpongan o sobresalgan. 



 Nota 1: tablero "defectuoso" significa que uno de sus casilleros (sin importar cual) está inutilizado y no puede ser cubierto por fichas.

 Nota 2: Suponiendo que todos conocemos las fichas de dominó, una ficha de triminó tiene 2 formas posibles, en línea o en L. Las fichas de este problema son las segundas. Se supone que el tamaño de la ficha es tal que calza perfectamente con tres cuadrados del tablero.

 Comentario 1: ¿Donde está la n? Precisamente un aspecto bonito es que no solamente va a ser posible en un tablero de dimensiones 8x8 sino en cualquiera de dimensiones  


Comentario 2: Aplicar este problema en clase resulta muy entretenido. Al inicio les propongo a los alumnos que dibujen en sus cuadernos su tablero y anulen un casillero distinto al de sus compañeros (con bolígrafo). Luego intentan marcar las fichas a lápiz. Algunos llegan antes y otros después. Muchas veces terminamos discutiendo sobre combinatoria y rotaciones pero cuando no nos desenfocamos surge naturalmente la necesidad de probarlo sin importar el casillero anulado. 


Otro Ejemplo 


Problema 2: 

Sea n>1 el número de equipos de fútbol que participan de un torneo. Cada equipo juega un partido con cada uno de los n-1 equipos restantes. No hay empates. Probar que al finalizar el torneo siempre será posible numerar los equipos de 1 a n de forma tal que el equipo i le ganó al equipo i+1 para i=1,2,…,n-1. 


Dos clásicos geométricos

Problema 3: 

Demuestra que la suma de ángulos interiores de un polígono de n lados es 180º(n - 2)  

Problema 4: 

 Demuestra que el número de diagonales (contando lados) de un polígono de n lados es n(n - 1)/2. 



Geométrico no tan clásico y con final sorprendente 

 Problema 5: 

 Se tienen n cuadrados de diversos tamaños. Probar que siempre es posible cortar los n cuadrados en piezas que permitan construir un gran cuadrado usando todas las piezas sin que queden huecos ni sobre nada. 


Problema 6: 


Se tienen 81 monedas de oro, todas iguales en todo salvo una que es más liviana. Hay que demostrar que es posible encontrar la moneda falsa usando una balanza de 2 platillos empleando solamente 4 pesadas. 



Pista pseudoútil: Podríamos preguntarnos al igual que en el problema del tablero ¿Dónde está n? 



 Sin duda esto es como con los números irracionales, al principio costaba encontrarlos y después resultó ser que eran infinitos. Así que ejemplos como estos debemos poder encontrar muchos más. Invito a todo el que conozca algunos por el estilo los comparta. Soy algo reticente a publicar soluciones en internet pero si algún interesado insiste podemos conversar sobre estos problemas en los comentarios.  
Finalmente, el título de la entrada es un poco en broma y tiene que ver con esta vieja publicidad de lámparas


 


“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, 

que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes” 

cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”






domingo, 20 de noviembre de 2016

Sistemas de Numeración - Nueva Lista de Reproducción

Comienzo una nueva lista de reproducción en el canal MATECLIPS . El contenido versa sobre tópicos de teoría de números como divisibilidad y sistemas de numeración.



Los niveles abarcados van desde bachillerato a primeros años de universidad en cursos de orientación científica como Matemática II de 2ºBD científica o Matemática Discreta en cursos de informática.



Acá les dejo un problema de ejemplo en el que se aplica notación en base 10 y suma de potencias. Espero les guste.















sábado, 5 de noviembre de 2016

De Geometría, Palomas y un día muy especial


Prólogos

"¡Quién supiera, pues, escribir un libro capaz de despertar 
el respeto al rigor si ahogar la intuición!¡Quién supiera conjugar en él 
la honradez científica, el interés formativo y la eficacia práctica!"

Es fantástico como se puede seguir extrayendo provecho a la lectura de los prólogos de las obras clásicas. Es que en nuestros días de prisa, cada vez leemos menos. Y cuando lo hacemos, no prestamos atención a los prólogos. Sin embargo, éstos, que por lo general son lo último que el autor escribe, conjugan toda la pasión, motivaciones y dedicación que se ha puesto en la obra.

El anterior párrafo es un fragmento del prólogo de la 1ª edición del libro "Curso de Geometría Métrica" (1947) de Pedro Puig Adam  y en él, busca destacar el rol de la intuición en el pensamiento matemático. Claro que también destaca que la intuición sin fundamento no conduce a buen puerto. Pero cuando se juntan ¡son dinamita!.

Esta entrada no va de prólogos, aunque es una idea interesante para la próxima. En esta ocasión nos concentraremos en la potencia de la intuición con fundamento y aprovechar a festejar un día muy especial (te enterarás al final de la entrada). Lo haremos a traves de un par de problemas que espero resulten interesantes. 


Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, 
que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.


Fundamentos

Retomemos las primeras páginas del texto de Puig Adam. En la primer página de su introducción ya nos muestra ejemplos de lo que venimos diciendo, cito textual:

"Numerosísimos son los ejemplos y curiosidades que muestran la insuficiencia o los engaños de la intuición"..."Supongamos un interlocutor de mediana cultura, que sepa que España tiene más de 20 millones de habitantes, y que nuestro cuero cabelludo tiene bastante menos de 5 cabellos por milímetro cuadrado; y preguntémosle si es seguro que existan dos españoles que tengan igual número de cabellos.
La imposibilidad de imaginar la experiencia comparativa le hará si duda declarar que la pregunta no tiene contestación posible.
Sin embargo un sencillísimo razonamiento permite llegar a donde la intuición no llega y contestar afirmativamente" 

Si bien la población de España ha aumentado desde la década del 40 eso no hace más que fortalecer la afirmación. Si la proposición no fuera cierta deberíamos encontrar españoles con más de 4 metros cuadrados de cuero cabelludo. 
Incluso en Uruguay tenemos la seguridad de que hay más de uno con la misma cantidad exacta de pelos. Aunque no somos mucho más de 3.4 millones sería necesario tener uruguayos con más de medio metro cuadrado de cráneo. Habemos algunos cabezotas, pero no tanto.

Debo confesar que este texto fue la primera vez que me tope con el "Principio del Palomar". Desde entonces he quedado muchas veces maravillado de cómo una idea tan intuitiva y simple puede resultar poderosamente útil en diversos contextos. 

El principio establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, 
y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma

Más allá de los múltiples y conocidos ejemplos numéricos, los típicos problemas de personas que cumplen años o días en el calendario, suelen atraerme los que involucran conceptos geométricos. 

Problema

Debo hacer una advertencia, a continuación desarrollaré un problema hasta llegar a su solución (un acto imperdonable). Sin embargo intentaré hacerlo sin revelar más de lo necesario para que los lectores que quieran resolverlo no tengan todo a la vista de una sola vez. He tratado de darle la interactividad necesaria para que se pueda disfrutar cada etapa.

"Dados 6 puntos en el interior de un círculo de radio 1, 
siempre hay dos de ellos que se encuentran 
a distancia menor a 1 entre sí"

(fuente: http://www.cut-the-knot.org)

Invito a explorar el enunciado con el siguiente sketch de Geogebra. 
Con el deslizador elije la cantidad de puntos que quieres poner en el círculo. Si la distancia entre los puntos es menor a 1 se dibuja un segmento punteado rojo.
Prueba a reubicar los puntos de forma que el segmento desaparezca. Luego ve agregando puntos y trata de conseguir lo mismo.


Recuerda que los puntos deben ser interiores y no pertenecer a la cfa. Si colocas un punto en la cfa se pintará de rojo y no está cumpliendo la consigna.


Ideas felices

Dividimos el círculo en seis sectores iguales.
Comprueba que es necesario que no haya dos puntos en el mismo sector.

Luego gira los radios verdes hasta que uno de los puntos pertenezca a uno de ellos

¿Puedes colocar puntos en los sectores que comparten ese radio?
¿Puedes colocar todos los puntos en los demás sectores?



Solución

Si es necesario, rotamos los sectores alrededor del centro hasta que uno de los puntos (digamos, C) quede en uno de los radios. Notemos que como cada sector es una parte de un triángulo de Reuleaux de ancho 1, es decir, no hay puntos en un sector que disten entre sí más de 1.








Si en uno de los sectores a los que pertenece C tenemos otro punto de nuestro conjunto, distaría de C no más de 1. Entonces nos quedarían 4 sectores para poner 5 puntos. Por el Principio del Palomar nos queda que en alguno de los sectores tendríamos 2 puntos y por lo tanto ellos distarían no más de 1 entre sí. El problema está resuelto.


Obsequio


"Dado un triángulo equilátero de lado 1 cm. 
Probar que si seleccionan 5 puntos interiores del triángulo , existen al menos dos cuya distancia es menor a ½"






Epílogo


Buceando por información para escribir esta entrada me encontré con una discusión divertida en http://mathoverflow.net/ . En un post se hace referencia al "día de PI" que, como sabemos, se celebra todos los 14 de marzo. 
Una de las respuestas propone la creación del Pigheon Hole Day. La discusión prosigue con las propuestas de fechas para la celebración donde se exponen ideas como cada Luna Azul que es la segunda luna llena que ocurre en un mismo mes de calendario (hecho que sucede más o menos cada 2.5 años). 
Pero la más votada sale de que los años no bisiestos son congruentes con 1 módulo 7. Esto signifíca que hay un día de la semana que aparece una vez más en el año. Ese día "extra" es, este año, un sábado. El día del Principio del Palomar de 2016 es precisamente hoy 5 de noviembre!

Merece una explicación, ¿verdad?

Cada mes del año 2016 tiene 4 o 5 sábados. Hay exactamente 7 meses que tienen 4 sábados. Por lo tanto al menos un cuarto del año tiene un solo mes de 4 sábados. Ese cuarto es el último del año y el mes es noviembre. A la hora de decidir qué sábado del mes de noviembre es más apropiado tenemos que el primero de ellos tiene la particularidad distintiva de tener un solo dígito.

Finalmente el día de la semana será coincidente con el del primer día del año por lo que en 2017 la fecha será domingo 5 de noviembre.

Claramente es un criterio arbitrario pero válido para determinar un día único en el año vinculado al Principio del Palomar. Los años bisiestos no podremos decidir el día, así que deberemos optar por descansar de tanta fiesta o festejar más veces.

Me gustaría mencionar y agradecer a Andrea Cassanello y Gastón Collazo colegas profesores con quienes estuve trabajando en estos problemas. Tenemos publicados algunos en el sitio ideas felices.



Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, 
que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.