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miércoles, 28 de septiembre de 2016

¡¡¡Abajo Apolonio!!!



En el mes de Diciembre de 1959 durante unos quince días, fue organizada una conferencia sobre la enseñanza de las matemáticas a instancias de la Organización Europea de Cooperación Económica para revisar las enseñanzas de matemáticas en la Educación Básica y que tuvo lugar en Royaumont (Francia). A esta conferencia asistieron matemáticos, pedagogos, inspectores, profesores de escuela secundaria, en total unas 60 personas. 

Jean Dieudonné, que fue el conferenciante inicial, en su discurso de apertura declaró con fuerza que es necesario cancelar definitivamente el estudio de la geometría y que toda la enseñanza de las matemáticas debe basarse en la teoría de los conjuntos y de las estructuras. De hecho pronunció con energía: "¡Abajo Euclides! ¡Abajo el triángulo! Solo así se logrará acercar el estudio de la matemática secundaria a los cursos de la Facultad Universitaria de Matemática".

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

Eran épocas turbulentas con un mundo polarizado en el que algunas de estas personalidades estaban muy preocupadas porque la Unión Soviética estaba lanzando el Sputnik y había que generar rápidamente cerebros que emparejaran a occidente. Estabamos embarcados en esa desgraciada carrera a todos los niveles, afectando a la ciencia a la investigación y evidentemente también a la educación. Es así que surge el movimiento de la Matemática Moderna. En el mundo, la enseñanza de la geometría fue relegada a un plano inferior  y despreciada. Ignorándola como instrumento de razonamiento, ejemplo de práctica matemática y hasta como hecho cultural de la humanidad.

Por latitudes rioplatenses  nos mantuvimos en posturas más moderadas, como suele ser nuestra costumbre, y la geometría siguió latiendo. Mientras tanto vemos que en el resto del mundo comienzan a darse cuenta de algunos errores al respecto y la geometría vuelve a relucir y recuperar terreno. 

Me viene a la mente el sugerente título de una de las publicaciones de Coxeter y Greitzer, precisamente “Retorno a la Geometría”. Vale la pena rescatar la cita con la que comienza el prólogo de ese libro: 

"Aquel que desdeña la Geometría de Euclides es como el hombre que, al regresar de tierras extrañas, menosprecia su casa." H.G. Forder 

Así que definitivamente el título de esta entrada pretende ser una ironía sobre aquel ridículo grito. El cambio de protagonista, "Apolonio", se debe a que este geómetra griego, menos popular que Euclides, nos ha legado hermosos ejemplos. Cito alguno como sus famosos 10 problemas de tangencias y les dejo un link a un artículo de la revista SUMA. En una próxima entrada dedicaré algo de espacio a su obra.

A fines de 2015, visitó Montevideo, el matemático francés y medalla Fields, Cedric Villani. En su segunda charla, ofrecida a profesores de enseñanza media, se le preguntó por el contenido más apropiado que se debería ofrecer a estudiantes de dicho ciclo. Su respuesta fue contundente: La "Geometría del Triángulo".  Argumentó su respuesta comentando que no lo decía porque fuera un área de actual desarrollo de la matemática ni porque tuviera siempre aplicación directa a otras áreas sino porque su estudio tiene un fin en si mismo. Es un excelente campo de ensayo para los noveles estudiantes, del razonamiento matemático. Oportunidad de experimentar, apreciar y hasta disfrutar del trabajo matemático.

Creo que, lo que suele ocurrir, es que no llegamos a mostrarle a nuestros estudiantes al menos algunas de las inumerables joyas que podemos encontrar en la Geometría.
No dejan de sorprenderse cuando se les dice que, sin importar las características del triángulo, su Circuncentro, Baricentro y Ortocentro están siempre alineados en la que llamamos "Recta de Euler".


Si mueves los vértices del triángulo podrás observarlo

Y para alineaciones tenemos muchas otras que también son interesantes






Mueve el punto P hasta colocarlo en algún punto de la circunferencia. Verás que los puntos rojos quedarán alineados. La recta que los contiene se llama "Recta de Simson-Wallace".


Y se les cuenta a esos mismos estudiantes que Napoleón Bonaparte proponía problemas a los principales matemáticos de Francia siempre piden saber más sobre el asunto.


El problema propuesto por Napoleón dice que el triángulo cuyos vértices son cada centro de los equiláteros, es a su vez, equilátero!!





Aquí tenemos un triángulo cualquiera ABC y los respectivos triángulos equiláteros exteriores ABE, BCD y CAF.

Puedes explorar la figura y ver que no solo tenemos al "Triángulo de Napoleón" sino que además las circunferencias que circunscriben a los equiláteros se cortan en un mismo punto. Y que ese punto es también en el que concurren las rectas AD, BF y CE. Si no tienes suficiente aún podemos añadir que los "SEGMENTOS" AD, BF y CE tienen igual longitud.



Hace unos días, Miguel Angel Morales, en su blog Gaussianos, publica un lindo artículo sobre la increíble 

Circunferencia de Feuerbach, conocida también como la circunferencia de los 9 puntos. 

Además de las curiosidades propias de su determinación y que pueden ver en el artículo, añado la siguiente: 


La circunferencia de Feuerbach es simultáneamente tangente a otras cuatro vinculadas al mismo triángulo. A saber, la circunferencia inscrita y sus tres circunferencias exinscritas.




La "Geometría del Triángulo" , la de Euclides, la de la regla y el compás, la de siempre. Está plagada de hermosas joyas como estas. Claro que sin lugar a ninguna duda estas líneas se están escribiendo desde un lado apasionado. Sin duda es mucho pedir que todos tengamos los mismos gustos.


No quiero finalizar la entrada sin compartir un problema para despuntar el vicio. Les invito a disfrutarlo. A lo mejor en la próxima entrada conversamos sobre algunas de sus soluciones.

En el cuadrado de la figura, E es punto medio del lado CB y AF es perpendicular a DE. El triángulo AFB ¿Es isósceles?

Es un problema apto para todo público, así que anímense. 

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.






viernes, 23 de septiembre de 2016

Resolución de ecuaciones - Rescate geométrico (Parte II)

Esta es la continuación del artículo "Rescate geométrico" que iniciamos en nuestra entrada anterior. En dicho artículo analizamos métodos geométricos olvidados para la resolución de ecuaciones. En esta nueva parte se desarrolla un método constructivo para obtener las raíces de una ecuación polinómica empleando regla y compás

Circunferencia de Carlyle





Otro método geométrico interesante es el ideado por Eduard Lill (1830-1900), Ingeniero Austríaco que en 1867 en la Exposition Universelle en París, presentó una máquina mecánica para determinar raíces de polinomios.


Thomas Carlyle (1795-1881) fue un historiador, escritor y poeta escocés que gustaba de la matemática y en sus ratos libres se entretenía con construcciones geométricas con regla y compás.

Carlyle empleó y difundió el método de Eduard Lill restringido a ecuaciones cuadráticas. Por ese motivo a la construcción que se debe realizar se la denomina "Circunferencia de Carlyle".


Descripción del método:


Si se quiere hallar las raíces de  $$ax^{2}+bx+c=0$$

primero la reescribimos de la forma $$x^{2}-Sx+P=0$$

En el sistema cartesiano de coordenadas se toman los puntos A(0,1) y D(S,P).

La circunferencia de diámetro AD corta al eje de abscisas en puntos cuyas abscisas son las raíces del polinomio. (si es tangente, la raíz es doble y si no corta la ecuación no tiene raíces reales).






Dos justificaciones de la construcción, una utilizando Geometría Analítica (Ecuación de la circunferencia) y otra aplicando Geometría Euclideana (Potencia, cuadriláteros cíclicos) quedan propuestas para realizar como actividades.


Método de Lill

Ya comentamos en el apartado anterior que Lill ideó un método geométrico para construir con regla y compás soluciones de ecuaciones polinómicas. La circunferencia de Carlyle es una reducción del método para el caso de cuadráticas. Pero el sistema ideado por Lill puede trabajar incluso con ecuaciones cúbicas y mayores grados.


Descripción del método


Por ejemplo si se quieren hallar las raíces del polinomio

$$4x^{3}+3x^{2}-2x-1$$

procedemos de la siguiente manera:

  • En el sistema cartesiano de coordenadas, partimos desde el origen y dibujamos un segmento de 4 unidades de longitud hacia la derecha porque el primer coeficiente es 4. 
  • Luego continuamos la poligonal hacia arriba 3 unidades porque el segundo coeficiente es un 3. 

Notemos que giramos 90º en sentido antihorario, si el coeficiente hubiera sido negativo el giro sería horario.



  • Después dibujamos un segmento de longitud 2 hacia la derecha porque el tercer coeficiente es un -2 y entonces el giro fue horario. 
  • Finalmente dibujamos un segmento de 1 unidad de longitud hacia arriba porque el término independiente es -1.

La poligonal resultante es la azul en el dibujo y es una forma gráfica no habitual de representar un polinomio.

A continuación comenzamos a dibujar una nueva poligonal roja partiendo del origen pero abriendo un ángulo (alfa) con el primer segmento azul.


  • El primer segmento tiene por extremos el origen de coordenadas y un punto de la recta que contiene al segundo segmento azul. 
  • Luego se gira 90º en sentido horario porque el segundo coeficiente es positivo. 
  • Se continúa la poligonal hasta cortar la recta que contiene al tercer segmento. 
  • Se gira 90º en sentido antihorario porque el tercer coeficiente es negativo. 
  • Finalmente prolongamos la poligonal hasta cortar la recta que contiene al cuarto segmento azul.

Si ambas poligonales tienen el mismo punto final, el valor -tan(alfa) es raíz del polinomio!!!



En la siguiente figura animada tenemos graficadas ambas poligonales. Puedes "mover" el punto azul para tratar de conseguir que los extremos coincidan. También tenemos graficado el polinomio y un punto de coordenadas (-tan(alfa), P(-tan(alfa))) para observar cuando se obtienen las raíces.

En el caso del ejemplo tenemos tres raíces reales, búscalas.






Biografía de Eduard Lill



Lecturas complementarias



Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill, Thomas C. Hull
(Resolviendo ecuaciones cúbicas con plieges)

Margharita P. Beloch fue la primera persona, en 1936, que mostó como con origamis (plegando papel) era posible resolver ecuaciones cúbicas e ideó un método tan poderoso como las construcciones con regla y compás para hacerlo. El artículo presenta la prueba haciendo uso del método geométrico de Eduard Lill para encontrar raíces de ecuaciones polinómicas.


Carlyle Circles and the Lemoine simplicity of polygon constructions, Duane W. DeTemple.

Artículo que muestra la aplicación del método de Lill y la reducción de Carlyle para la construcción de polígonos regulares. En particular se muestra el caso del pentágono regular, el polígono regular de 17 lados y el 65537-gono!!

Project Origami: Activities for Exploring Mathematics

Libro de actividades que incluye la descripción del método de Lill para ejecutar con pliegues de papel.


Referencias


Who was Who in polynomial factorization, Joachim von zur Gathen,
Universitat Bonn
A History of Mathematics, Florian Cajori, 1909. 

HISTORY OF MODERN MATHEMATICS, DAVID EUGENE SMITH, 1906
First Course in the Theory of Equations, Leonard Eugene Dickson, 1922
Mathematics and Its History, John Stillwell

Planteamiento y Solución de Problemas de Ecuaciones,
Usando Estrategias y Métodos Propuestos en el
Desarrollo Histórico de la Teoría de Ecuaciones, Luis Enrique Zambrano García, Universidad Nacional de Colombia, Tésis de Maestría
Geometric Construction of Roots of Quadratic Equation
DU COMPAS AUX INTEGRAPHES : LES INSTRUMENTS DU CALCUL GRAPHIQUE,
Dominique TOURNES
Vorlesungen Uber Die Entwicklung Der Mathematik Im 19. Jahrhundert, Felix Klein 
Machines for solving algebraic equations, J. S. Frame
NOTE ON LILL'S METHOD OF SOLUTION OF NUMERICAL EQUATIONS, B. MEULENBELD
M. E. Lill: Résolution Graphique des équations numériques de tous les degrées à une seule inconnue, et description d'un instrument inventé dans ce but, Nouvelles Annales de Mathematiques, Series 2, Vol. 6, 1867
CONSTRUCTIONS D’EQUATIONS ALGEBRIQUES
Le Calcul Simplifié Par Les Procédés Mécaniques Et Graphiques: Histoire Et Description Sommaire Des Instruments Et Machines À Calculer, Tables, Abaques Et Nomogrammes (1905) del francés Maurice D´Ocagne

Animation for Lill's Method by Dan Kalman
Theory of equations" de H. W. Turnbull (1946)
Project Origami: Activities for Exploring Mathematics

martes, 20 de septiembre de 2016

Resolución de ecuaciones - Rescate geométrico (Parte I)



El planteo de esta entrada es rescatar métodos gráficos de resolución de ecuaciones por su valor histórico. Además dan una alternativa que puede ser de provecho para los estudiantes que se inician en álgebra pensando que es bueno poder mostrarles distintas representaciones para abordar un mismo problema.





Introducción



La búsqueda de raíces de polinomios tiene la siguiente particularidad: Luego de un primer impulso en la Grecia clásica en Babilonia y en lo que ahora es India (Euclides, Brahmagupta, Bhaskara) hubo una gran brecha temporal donde no se registraron progresos. Recién en el Renacimiento, con el florecimiento de un lenguaje matemático más algebraico se retoman los avances (Cardano, Tartaglia, Viete). Generalmente en los cursos actuales de introducción al álgebra en enseñanza media es frecuente que se trabaje con los métodos algebraicos de esta segunda etapa. 



Los métodos gráficos de la antigüedad han sido olvidados.



Un Best- Seller

Si nos referimos al libro récord de todos los tiempos en cuanto a geometría se refiere, "Elementos de Euclides" vigente desde hace 2400 años podemos encontrarnos con que en la proposición 4 del Libro II dice:


"Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera 
es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el 
rectángulo comprendido por los segmentos." 

Expresado en una notación más actual sería equivalente a
$$\left(a+b \right ) ^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$$


Fórmula que conocemos como "Cuadrado del binomio"

Relacionar el texto de la proposición puede no ser evidente para todos y eso debe tener que ver con que la notación algebraica de la fórmula se desarrolló muchos siglos después a la proposición de Euclides. 


Pero podemos tender un puente entre el texto y la fórmula mediante la siguiente imagen.




Con este ejemplo queremos ilustrar el hecho de que muchas relaciones algebraicas han tenido inicialmente su origen en razonamientos de tipo geométrico.

Sin ir mucho más lejos podemos encontrar el LIBRO VI de los Elementos de Euclides proposiciones que muestran cómo resolver ciertas ecuaciones cuadráticas empleando métodos geométricos.

Observemos por ejemplo la siguiente figura:


De buenas a primeras la figura puede no significar nada o muchas cosas. ¿que tal si agregamos que la figura representa la factorización de un polinomio de segundo grado donde el cuadrado grande tiene lado x y los cuadraditos de la esquina inferior derecha tienen lado 1 ? ¿te animas a determinarlo? ¿y cuál es su descomposición factorial?



Es posible que las siguiente imágenes aclaren un poco el panorama:


Si eso no es suficiente puedes ver el video donde mostramos la factorización propuesta





Así es como factorizaban los griegos primero y los árabes después hasta hace unos mil años atrás.

               






Esta forma de trabajar con cuadráticas considerando los "cuadrados" como "áreas de cuadrados" y los productos de magnitudes de primer grado como "áreas de rectángulos" han caído en el olvido y han sido sustituidas por un lenguaje algebraico cargado de notación procurando formalización. Con el nuevo lenguaje del álgebra se obtienen muchos beneficios indiscutibles pero el costo es, a veces, una pérdida en la visualización e intuición. De todas formas, este tipo de visualizaciones forman parte del trabajo cotidiano de los matemáticos y de toda persona que quiera comprender y utilizar estas herramientas matemáticas.



¿A qué llamamos completar el cuadrado?



Por lo general con ese título nos referimos a un procedimiento algebraico alternativo a la fórmula de Bhaskara pero observemos un procedimiento geométrico que bien puede llevar el mismo nombre.





Para ver la deducción de la fórmula conocida como " de Bhaskara" pueden consultarse este recurso:



Método de Euclides

Para ecuaciones de la forma



$$x^{2}+nx=m$$

con valores positivos de n y m, los griegos empleaban también el siguiente método



Se construye un segmento AB de longitud n 

Sobre la recta perpendicular a AB por B se construye el segmento BD de longitud m, 

Con centro en el punto medio C del segmento AB se construye una circunferencia que contiene a D 

El punto de corte de la cfa. con semirrecta de origen A que contiene a B es E. 

Hecha la construcción, la longitud del segmento BE corresponde a una de las raíces positivas de la ecuación en caso de que tenga.

En la siguiente presentación hecha con geogebra puedes ensayar la construcción cambiando los parámetros m y n





Les proponemos como ejercicio ensayar para qué valores de los parámetros m y n es posible obtener solución con este método.

Hasta aquí llegamos por la entrada de hoy. Tendremos una nueva parte en unos días con la descripción de otro método debido a Eduard Lill y Thomas Carlyle. 







sábado, 17 de septiembre de 2016

Lecciones que vale la pena compartir

Bajo el eslogan "Lessons worth share" el canal TED-ed nos está reglando un material increíble. Realmente bueno. Si ya son muy populares las charlas TED por lo inspiradoras que resultan, el canal dedicado a educación tiene un montón de perlas para todo tipo de temas que pueden resultar muy útiles además de interesantes.

La mayoría de los videos que se coleccionan en ese canal son explicaciones animadas de diversos temas vinculados a la ciencia en general y a la matemática en particular.

Están grabados en Inglés pero prácticamente todos tienen subtítulos en español. No se trata de los subtítulos automáticos, que aún dejan mucho que desear, sino de traducciones de colaboradores y que están muy bien realizadas.

Pensando en la aplicación por parte de profesores con alumnos, algunas de esas perlitas pueden servir de complemento ideal para condimentar el desarrollo de una clase o para recomendar verlos en casa. Previo a la clase o como síntesis.

Por ejemplo,

Cuando se está estudiando sucesiones, divisibilidad, números primos o incluso el concepto de infinito numerable puede resultar muy útil el video "La paradoja del Hotel infinito"  en el que se aborda desde progresiones aritméticas y geométricas hasta la infinitud de los números primos.



También el video de las paradojas de Zenón puede ser útil para ilustrar la idea de infinito.




Si el tema de interés es cálculo y estamos investigando el crecimiento exponencial o las consecuencias del teorema de Bolzano. Por ejemplo, su aplicación a la determinación de raíces por el método de subdivisión, entonces el video "Cómo doblar papel puede llevarte a la Luna" puede ayudar a ilustrar la potencia del método.



Hay muchos videos que ilustran esta idea. Hasta ahora, para desafiar a mis alumnos a investigar, les proponía que tomaran una hoja de su cuaderno e intentaran plegarla sobre sí misma. Ponía las llaves de mi camioneta sobre el escritorio y prometía a aquel que consiguiera hacer más de 10 pliegues darselas de regalo. En el siguiente video de la serie Myth Busters se muestra que la dificultad de los pliegues no depende de la superficie inicial. Pero luego de verlo cambié mi discurso y empecé a pedir un par de pliegues más por si acaso.

  
De todas formas lo que ha captado mi atención es la relativamente nueva sección de desafíos matemáticos y lógicos. Pero eso vamos a dejarlo para una próxima entrada.

Nos leemos.







sábado, 10 de septiembre de 2016

Los Matemáticos de Napoleón - Gaspard Monge


Se cuenta que el emperador tenía mucho interés en rodearse por los científicos más importantes de la época. No solo por la respetabilidad que conferían al nuevo Estado y por lo tanto a su persona sino también por un genuino interés en los resultados prácticos del desarrollo de la ciencia.
Laplace, Monge, Lacepede, Cousin, Chaptal son algunos de los matemáticos que estuvieron vinculados a Napoleón. 

Una anécdota bastante conocida cuenta que en el transcurso de una cena con Laplace y Lagrange les preguntó si conocían un libro que acababa de publicar el matemático Mascheroni, y en concreto de la forma de dividir una circunferencia en cuatro partes iguales, o de determinar el centro de una circunferencia conocidos tres de sus puntos, en ambos casos utilizando sólo el compás. 
Ante la negativa de ambos matemáticos, Napoleón solicitó papel, lápiz y compás, y rápidamente desarrolló ambas demostraciones. General, dijo Laplace, esperábamos recibir cualquier cosa de usted, excepto lecciones de matemáticas.

Gaspard Monge (1746-1818) fue uno de estos matemáticos y puede decirse que era amigo personal de Napoleón.

Monge revolucionó el diseño y construcción de fortificaciones gracias a los métodos geométricos desarrollados por él mismo. Gracias a este trabajo, fue nombrado profesor auxiliar de Matemáticas de la Academia. En 1769 ocuparía la cátedra de Matemáticas e iniciaría sus famosos cursos de Geometría Descriptiva, que durante muchos años fueron considerados secreto militar.
El Método de la Geometría Descriptiva tiene su inicio con el desarrollo de un sistema de representación de objetos tridimensionales en figuras planas. El Sistema Diédrico ideado por Monge que consiste en el empleo de Planos de proyección y proyecciones cilíndricas. 


Actualmente, el desarrollo digital provee software muy eficiente para la representación y manipulación de objetos tridimensionales. Pero esto no quita el interés pedagógico que tiene el aprendizaje del método. Es por esto que aún persisten cursos de Geometría Descriptiva tanto en los últimos años del bachillerato como en los primeros años de carreras universitarias vinculadas al diseño. 

En nuestro canal contamos con una lista de reproducción para este tema





Como aporte al estudio de la Geometría Descriptiva es posible encontrar en la red mucho material del cual paso a dejarles algunas recomendaciones.

El sitio: http://www.profesordedibujo.com/  cuenta con abundante material sobre construcciones geométricas en general y sobre las técnicas de la Geometría Descriptiva en particular. Tiene asociado un canal de Youtube muy completo. Sus explicaciones son claras y concisas 




Aitor Echevarría es un profesor de dibujo en secundaria en España y tiene un blog y un canal con muy buen material. Aquí les dejo el link a su blog
http://videoclasesdt.blogspot.com
y a su canal












lunes, 5 de septiembre de 2016

Matemáticamente tenemos chance

Bienvenidos a este nuevo Blog de reseña de recursos de Matemática disponibles en Internet. 
El objetivo para nada pretencioso de este sitio es catalogar y compartir aquellos recursos que puedan ser interesantes desde nuestro modesto punto de vista, tanto a docentes de la asignatura como a estudiantes y personas afines a la materia. 

Son bienvenidos los comentarios constructivos, las sugerencias y pedidos de reseñas.

Además de referirnos a contenidos de terceros que nos resulten atractivos o útiles, también difundiremos los contenidos del canal MATECLIPS de youtube donde publicamos nuestros propios videos, 

Esperamos que con el paso del tiempo y con la colaboración de nuestros eventuales lectores consigamos descubrir y compartir contenidos valiosos de la temática que nos apasiona.

Creemos que las reseñas pueden ser un servicio de utilidad para los docentes que busquen material para el dictado de sus cursos. Es conocido que muchas veces no es la falta de interés sino de tiempo lo que hace que no se consiga llegar a los mejores recursos. Queremos facilitar esa busqueda con nuestras reseñas. 

La intención es buena, esperamos que nos apoyen. Que les guste lo que pretendemos ofrecer y lo disfruten. 

Y recuerden siempre que: "Matemáticamente tenemos chance"