MATECLIPS

Inducción Incompleta 

 Acabo de leer la entrada de Tito Eliatron Dixit y me decidí por hacer un aporte que va en su misma línea. No para superponer sino para sumar. 

 Por latitudes rioplatenses tenemos un dicho: "todo bicho que camina va a parar al asador" que hace alusión a nuestra tendencia a no perder oportunidad de hacer una barbacoa. Pero el dicho tiene otras dos interpretaciones. Una es que la usamos cuando queremos decir que nada se desperdicia y la otra es que si un recurso nos resulta útil lo empleamos hasta el cansancio. 

Es bastante frecuente observar en muchos estudiantes este comportamiento. Para "tal" problema aplico "tal" procedimiento (y cuando esto no funciona se quedan paralizados). Lo que, para ir entrando en tema, se traduce en "si de n depende, saldrá por inducción". 

“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, 

que en esta ocasión organiza el blog “Que no te aburran las M@tes” 

cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”

 En mi país estudiamos el Principio de Inducción Completa y demostraciones por Inducción en el segundo año de bachillerato. Luego se retoma en cursos de Matemática Discreta en los primeros semestres de la universidad. Fundamentalmente aquellos cursos relativos a Matemática e Informática.

 Algunas veces perdemos el foco en los ejercicios que proponemos. Puros cálculos algebraicos para demostrar fórmulas para el cálculo de sumas o probar desigualdades (mecánicamente aburridos). A veces es tal el abuso que, al evaluar, ponemos más énfasis en los errores operatorios que en la aplicación del método. 

 A los ejemplos de José Antonio sumo alguno más. Intentar demostrar que para todo natural n siempre se cumple que 

o que

puede ser algo engorroso aplicando I.C. Como mínimo habría que gastar mucho de papel. Sin embargo, aplicando aritmética modular ambas se resuelven en pocos renglones. Esto hace que aplicar Inducción en estos casos es un derroche de energía.

 Por lo dicho hasta ahora, soy de la opinión de que es muy importante ver ejemplos donde la aplicación de Inducción Completa no solo sea realmente útil sino que también sea la opción más inteligente. Y para eso hay muchos ejemplos bonitos. 

 Problema 1: 

  Uno muy conocido y que está muy bien documentado en este post de culturacientifica.com es el siguiente:

Demostrar que es posible cubrir un tablero de ajedrez "defectuoso" con fichas de triminó en L sin que las fichas se superpongan o sobresalgan. 

 Nota 1: tablero "defectuoso" significa que uno de sus casilleros (sin importar cual) está inutilizado y no puede ser cubierto por fichas.

 Nota 2: Suponiendo que todos conocemos las fichas de dominó, una ficha de triminó tiene 2 formas posibles, en línea o en L. Las fichas de este problema son las segundas. Se supone que el tamaño de la ficha es tal que calza perfectamente con tres cuadrados del tablero.

 Comentario 1: ¿Donde está la n? Precisamente un aspecto bonito es que no solamente va a ser posible en un tablero de dimensiones 8x8 sino en cualquiera de dimensiones  

Comentario 2: Aplicar este problema en clase resulta muy entretenido. Al inicio les propongo a los alumnos que dibujen en sus cuadernos su tablero y anulen un casillero distinto al de sus compañeros (con bolígrafo). Luego intentan marcar las fichas a lápiz. Algunos llegan antes y otros después. Muchas veces terminamos discutiendo sobre combinatoria y rotaciones pero cuando no nos desenfocamos surge naturalmente la necesidad de probarlo sin importar el casillero anulado. 

Otro Ejemplo 

Problema 2: 

Sea n>1 el número de equipos de fútbol que participan de un torneo. Cada equipo juega un partido con cada uno de los n-1 equipos restantes. No hay empates. Probar que al finalizar el torneo siempre será posible numerar los equipos de 1 a n de forma tal que el equipo i le ganó al equipo i+1 para i=1,2,…,n-1. 

Dos clásicos geométricos

Problema 3: 

Demuestra que la suma de ángulos interiores de un polígono de n lados es 180º(n - 2)  

Problema 4: 

 Demuestra que el número de diagonales (contando lados) de un polígono de n lados es n(n - 1)/2. 

Geométrico no tan clásico y con final sorprendente 

 Problema 5: 

 Se tienen n cuadrados de diversos tamaños. Probar que siempre es posible cortar los n cuadrados en piezas que permitan construir un gran cuadrado usando todas las piezas sin que queden huecos ni sobre nada. 

Problema 6: 

Se tienen 81 monedas de oro, todas iguales en todo salvo una que es más liviana. Hay que demostrar que es posible encontrar la moneda falsa usando una balanza de 2 platillos empleando solamente 4 pesadas. 

Pista pseudoútil: Podríamos preguntarnos al igual que en el problema del tablero ¿Dónde está n? 

 Sin duda esto es como con los números irracionales, al principio costaba encontrarlos y después resultó ser que eran infinitos. Así que ejemplos como estos debemos poder encontrar muchos más. Invito a todo el que conozca algunos por el estilo los comparta. Soy algo reticente a publicar soluciones en internet pero si algún interesado insiste podemos conversar sobre estos problemas en los comentarios.  

Finalmente, el título de la entrada es un poco en broma y tiene que ver con esta vieja publicidad de lámparas

 

“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, 

que en esta ocasión organiza el blog “Que no te aburran las M@tes” 

cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”

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