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sábado, 5 de noviembre de 2016

De Geometría, Palomas y un día muy especial


Prólogos

"¡Quién supiera, pues, escribir un libro capaz de despertar 
el respeto al rigor si ahogar la intuición!¡Quién supiera conjugar en él 
la honradez científica, el interés formativo y la eficacia práctica!"

Es fantástico como se puede seguir extrayendo provecho a la lectura de los prólogos de las obras clásicas. Es que en nuestros días de prisa, cada vez leemos menos. Y cuando lo hacemos, no prestamos atención a los prólogos. Sin embargo, éstos, que por lo general son lo último que el autor escribe, conjugan toda la pasión, motivaciones y dedicación que se ha puesto en la obra.

El anterior párrafo es un fragmento del prólogo de la 1ª edición del libro "Curso de Geometría Métrica" (1947) de Pedro Puig Adam  y en él, busca destacar el rol de la intuición en el pensamiento matemático. Claro que también destaca que la intuición sin fundamento no conduce a buen puerto. Pero cuando se juntan ¡son dinamita!.

Esta entrada no va de prólogos, aunque es una idea interesante para la próxima. En esta ocasión nos concentraremos en la potencia de la intuición con fundamento y aprovechar a festejar un día muy especial (te enterarás al final de la entrada). Lo haremos a traves de un par de problemas que espero resulten interesantes. 


Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, 
que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.


Fundamentos

Retomemos las primeras páginas del texto de Puig Adam. En la primer página de su introducción ya nos muestra ejemplos de lo que venimos diciendo, cito textual:

"Numerosísimos son los ejemplos y curiosidades que muestran la insuficiencia o los engaños de la intuición"..."Supongamos un interlocutor de mediana cultura, que sepa que España tiene más de 20 millones de habitantes, y que nuestro cuero cabelludo tiene bastante menos de 5 cabellos por milímetro cuadrado; y preguntémosle si es seguro que existan dos españoles que tengan igual número de cabellos.
La imposibilidad de imaginar la experiencia comparativa le hará si duda declarar que la pregunta no tiene contestación posible.
Sin embargo un sencillísimo razonamiento permite llegar a donde la intuición no llega y contestar afirmativamente" 

Si bien la población de España ha aumentado desde la década del 40 eso no hace más que fortalecer la afirmación. Si la proposición no fuera cierta deberíamos encontrar españoles con más de 4 metros cuadrados de cuero cabelludo. 
Incluso en Uruguay tenemos la seguridad de que hay más de uno con la misma cantidad exacta de pelos. Aunque no somos mucho más de 3.4 millones sería necesario tener uruguayos con más de medio metro cuadrado de cráneo. Habemos algunos cabezotas, pero no tanto.

Debo confesar que este texto fue la primera vez que me tope con el "Principio del Palomar". Desde entonces he quedado muchas veces maravillado de cómo una idea tan intuitiva y simple puede resultar poderosamente útil en diversos contextos. 

El principio establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, 
y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma

Más allá de los múltiples y conocidos ejemplos numéricos, los típicos problemas de personas que cumplen años o días en el calendario, suelen atraerme los que involucran conceptos geométricos. 

Problema

Debo hacer una advertencia, a continuación desarrollaré un problema hasta llegar a su solución (un acto imperdonable). Sin embargo intentaré hacerlo sin revelar más de lo necesario para que los lectores que quieran resolverlo no tengan todo a la vista de una sola vez. He tratado de darle la interactividad necesaria para que se pueda disfrutar cada etapa.

"Dados 6 puntos en el interior de un círculo de radio 1, 
siempre hay dos de ellos que se encuentran 
a distancia menor a 1 entre sí"

(fuente: http://www.cut-the-knot.org)

Invito a explorar el enunciado con el siguiente sketch de Geogebra. 
Con el deslizador elije la cantidad de puntos que quieres poner en el círculo. Si la distancia entre los puntos es menor a 1 se dibuja un segmento punteado rojo.
Prueba a reubicar los puntos de forma que el segmento desaparezca. Luego ve agregando puntos y trata de conseguir lo mismo.


Recuerda que los puntos deben ser interiores y no pertenecer a la cfa. Si colocas un punto en la cfa se pintará de rojo y no está cumpliendo la consigna.


Ideas felices

Dividimos el círculo en seis sectores iguales.
Comprueba que es necesario que no haya dos puntos en el mismo sector.

Luego gira los radios verdes hasta que uno de los puntos pertenezca a uno de ellos

¿Puedes colocar puntos en los sectores que comparten ese radio?
¿Puedes colocar todos los puntos en los demás sectores?



Solución

Si es necesario, rotamos los sectores alrededor del centro hasta que uno de los puntos (digamos, C) quede en uno de los radios. Notemos que como cada sector es una parte de un triángulo de Reuleaux de ancho 1, es decir, no hay puntos en un sector que disten entre sí más de 1.








Si en uno de los sectores a los que pertenece C tenemos otro punto de nuestro conjunto, distaría de C no más de 1. Entonces nos quedarían 4 sectores para poner 5 puntos. Por el Principio del Palomar nos queda que en alguno de los sectores tendríamos 2 puntos y por lo tanto ellos distarían no más de 1 entre sí. El problema está resuelto.


Obsequio


"Dado un triángulo equilátero de lado 1 cm. 
Probar que si seleccionan 5 puntos interiores del triángulo , existen al menos dos cuya distancia es menor a ½"






Epílogo


Buceando por información para escribir esta entrada me encontré con una discusión divertida en http://mathoverflow.net/ . En un post se hace referencia al "día de PI" que, como sabemos, se celebra todos los 14 de marzo. 
Una de las respuestas propone la creación del Pigheon Hole Day. La discusión prosigue con las propuestas de fechas para la celebración donde se exponen ideas como cada Luna Azul que es la segunda luna llena que ocurre en un mismo mes de calendario (hecho que sucede más o menos cada 2.5 años). 
Pero la más votada sale de que los años no bisiestos son congruentes con 1 módulo 7. Esto signifíca que hay un día de la semana que aparece una vez más en el año. Ese día "extra" es, este año, un sábado. El día del Principio del Palomar de 2016 es precisamente hoy 5 de noviembre!

Merece una explicación, ¿verdad?

Cada mes del año 2016 tiene 4 o 5 sábados. Hay exactamente 7 meses que tienen 4 sábados. Por lo tanto al menos un cuarto del año tiene un solo mes de 4 sábados. Ese cuarto es el último del año y el mes es noviembre. A la hora de decidir qué sábado del mes de noviembre es más apropiado tenemos que el primero de ellos tiene la particularidad distintiva de tener un solo dígito.

Finalmente el día de la semana será coincidente con el del primer día del año por lo que en 2017 la fecha será domingo 5 de noviembre.

Claramente es un criterio arbitrario pero válido para determinar un día único en el año vinculado al Principio del Palomar. Los años bisiestos no podremos decidir el día, así que deberemos optar por descansar de tanta fiesta o festejar más veces.

Me gustaría mencionar y agradecer a Andrea Cassanello y Gastón Collazo colegas profesores con quienes estuve trabajando en estos problemas. Tenemos publicados algunos en el sitio ideas felices.



Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, 
que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.








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