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miércoles, 7 de diciembre de 2016

Estudio Analítico y Representación Gráfica

Como estamos en plena época de parciales y exámenes les dejo unos ejemplos de estudios de funciones reales que pueden servir de ayuda a estudiantes de Matemática I 6º año de bachillerato (3º BD) cualquiera de las orientaciones. 

Una función logarítmica, una exponencial y una con raíz cuadrada para hacer boca. 

Saludos y éxito en los exámenes








viernes, 25 de noviembre de 2016

Inducción Incompleta 


 Acabo de leer la entrada de Tito Eliatron Dixit y me decidí por hacer un aporte que va en su misma línea. No para superponer sino para sumar. 
 Por latitudes rioplatenses tenemos un dicho: "todo bicho que camina va a parar al asador" que hace alusión a nuestra tendencia a no perder oportunidad de hacer una barbacoa. Pero el dicho tiene otras dos interpretaciones. Una es que la usamos cuando queremos decir que nada se desperdicia y la otra es que si un recurso nos resulta útil lo empleamos hasta el cansancio. 
Es bastante frecuente observar en muchos estudiantes este comportamiento. Para "tal" problema aplico "tal" procedimiento (y cuando esto no funciona se quedan paralizados). Lo que, para ir entrando en tema, se traduce en "si de n depende, saldrá por inducción". 



“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, 

que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes” 

cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”




 En mi país estudiamos el Principio de Inducción Completa y demostraciones por Inducción en el segundo año de bachillerato. Luego se retoma en cursos de Matemática Discreta en los primeros semestres de la universidad. Fundamentalmente aquellos cursos relativos a Matemática e Informática.

 Algunas veces perdemos el foco en los ejercicios que proponemos. Puros cálculos algebraicos para demostrar fórmulas para el cálculo de sumas o probar desigualdades (mecánicamente aburridos). A veces es tal el abuso que, al evaluar, ponemos más énfasis en los errores operatorios que en la aplicación del método. 

 A los ejemplos de José Antonio sumo alguno más. Intentar demostrar que para todo natural n siempre se cumple que 


o que


puede ser algo engorroso aplicando I.C. Como mínimo habría que gastar mucho de papel. Sin embargo, aplicando aritmética modular ambas se resuelven en pocos renglones. Esto hace que aplicar Inducción en estos casos es un derroche de energía.

 Por lo dicho hasta ahora, soy de la opinión de que es muy importante ver ejemplos donde la aplicación de Inducción Completa no solo sea realmente útil sino que también sea la opción más inteligente. Y para eso hay muchos ejemplos bonitos. 

 Problema 1: 

  Uno muy conocido y que está muy bien documentado en este post de culturacientifica.com es el siguiente:

Demostrar que es posible cubrir un tablero de ajedrez "defectuoso" con fichas de triminó en L sin que las fichas se superpongan o sobresalgan. 



 Nota 1: tablero "defectuoso" significa que uno de sus casilleros (sin importar cual) está inutilizado y no puede ser cubierto por fichas.

 Nota 2: Suponiendo que todos conocemos las fichas de dominó, una ficha de triminó tiene 2 formas posibles, en línea o en L. Las fichas de este problema son las segundas. Se supone que el tamaño de la ficha es tal que calza perfectamente con tres cuadrados del tablero.

 Comentario 1: ¿Donde está la n? Precisamente un aspecto bonito es que no solamente va a ser posible en un tablero de dimensiones 8x8 sino en cualquiera de dimensiones  


Comentario 2: Aplicar este problema en clase resulta muy entretenido. Al inicio les propongo a los alumnos que dibujen en sus cuadernos su tablero y anulen un casillero distinto al de sus compañeros (con bolígrafo). Luego intentan marcar las fichas a lápiz. Algunos llegan antes y otros después. Muchas veces terminamos discutiendo sobre combinatoria y rotaciones pero cuando no nos desenfocamos surge naturalmente la necesidad de probarlo sin importar el casillero anulado. 


Otro Ejemplo 


Problema 2: 

Sea n>1 el número de equipos de fútbol que participan de un torneo. Cada equipo juega un partido con cada uno de los n-1 equipos restantes. No hay empates. Probar que al finalizar el torneo siempre será posible numerar los equipos de 1 a n de forma tal que el equipo i le ganó al equipo i+1 para i=1,2,…,n-1. 


Dos clásicos geométricos

Problema 3: 

Demuestra que la suma de ángulos interiores de un polígono de n lados es 180º(n - 2)  

Problema 4: 

 Demuestra que el número de diagonales (contando lados) de un polígono de n lados es n(n - 1)/2. 



Geométrico no tan clásico y con final sorprendente 

 Problema 5: 

 Se tienen n cuadrados de diversos tamaños. Probar que siempre es posible cortar los n cuadrados en piezas que permitan construir un gran cuadrado usando todas las piezas sin que queden huecos ni sobre nada. 


Problema 6: 


Se tienen 81 monedas de oro, todas iguales en todo salvo una que es más liviana. Hay que demostrar que es posible encontrar la moneda falsa usando una balanza de 2 platillos empleando solamente 4 pesadas. 



Pista pseudoútil: Podríamos preguntarnos al igual que en el problema del tablero ¿Dónde está n? 



 Sin duda esto es como con los números irracionales, al principio costaba encontrarlos y después resultó ser que eran infinitos. Así que ejemplos como estos debemos poder encontrar muchos más. Invito a todo el que conozca algunos por el estilo los comparta. Soy algo reticente a publicar soluciones en internet pero si algún interesado insiste podemos conversar sobre estos problemas en los comentarios.  
Finalmente, el título de la entrada es un poco en broma y tiene que ver con esta vieja publicidad de lámparas


 


“Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, 

que en esta ocasión organiza el blog Que no te aburran las M@tes” 

cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez”






domingo, 20 de noviembre de 2016

Sistemas de Numeración - Nueva Lista de Reproducción

Comienzo una nueva lista de reproducción en el canal MATECLIPS . El contenido versa sobre tópicos de teoría de números como divisibilidad y sistemas de numeración.



Los niveles abarcados van desde bachillerato a primeros años de universidad en cursos de orientación científica como Matemática II de 2ºBD científica o Matemática Discreta en cursos de informática.



Acá les dejo un problema de ejemplo en el que se aplica notación en base 10 y suma de potencias. Espero les guste.















sábado, 5 de noviembre de 2016

De Geometría, Palomas y un día muy especial


Prólogos

"¡Quién supiera, pues, escribir un libro capaz de despertar 
el respeto al rigor si ahogar la intuición!¡Quién supiera conjugar en él 
la honradez científica, el interés formativo y la eficacia práctica!"

Es fantástico como se puede seguir extrayendo provecho a la lectura de los prólogos de las obras clásicas. Es que en nuestros días de prisa, cada vez leemos menos. Y cuando lo hacemos, no prestamos atención a los prólogos. Sin embargo, éstos, que por lo general son lo último que el autor escribe, conjugan toda la pasión, motivaciones y dedicación que se ha puesto en la obra.

El anterior párrafo es un fragmento del prólogo de la 1ª edición del libro "Curso de Geometría Métrica" (1947) de Pedro Puig Adam  y en él, busca destacar el rol de la intuición en el pensamiento matemático. Claro que también destaca que la intuición sin fundamento no conduce a buen puerto. Pero cuando se juntan ¡son dinamita!.

Esta entrada no va de prólogos, aunque es una idea interesante para la próxima. En esta ocasión nos concentraremos en la potencia de la intuición con fundamento y aprovechar a festejar un día muy especial (te enterarás al final de la entrada). Lo haremos a traves de un par de problemas que espero resulten interesantes. 


Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, 
que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.


Fundamentos

Retomemos las primeras páginas del texto de Puig Adam. En la primer página de su introducción ya nos muestra ejemplos de lo que venimos diciendo, cito textual:

"Numerosísimos son los ejemplos y curiosidades que muestran la insuficiencia o los engaños de la intuición"..."Supongamos un interlocutor de mediana cultura, que sepa que España tiene más de 20 millones de habitantes, y que nuestro cuero cabelludo tiene bastante menos de 5 cabellos por milímetro cuadrado; y preguntémosle si es seguro que existan dos españoles que tengan igual número de cabellos.
La imposibilidad de imaginar la experiencia comparativa le hará si duda declarar que la pregunta no tiene contestación posible.
Sin embargo un sencillísimo razonamiento permite llegar a donde la intuición no llega y contestar afirmativamente" 

Si bien la población de España ha aumentado desde la década del 40 eso no hace más que fortalecer la afirmación. Si la proposición no fuera cierta deberíamos encontrar españoles con más de 4 metros cuadrados de cuero cabelludo. 
Incluso en Uruguay tenemos la seguridad de que hay más de uno con la misma cantidad exacta de pelos. Aunque no somos mucho más de 3.4 millones sería necesario tener uruguayos con más de medio metro cuadrado de cráneo. Habemos algunos cabezotas, pero no tanto.

Debo confesar que este texto fue la primera vez que me tope con el "Principio del Palomar". Desde entonces he quedado muchas veces maravillado de cómo una idea tan intuitiva y simple puede resultar poderosamente útil en diversos contextos. 

El principio establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, 
y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma

Más allá de los múltiples y conocidos ejemplos numéricos, los típicos problemas de personas que cumplen años o días en el calendario, suelen atraerme los que involucran conceptos geométricos. 

Problema

Debo hacer una advertencia, a continuación desarrollaré un problema hasta llegar a su solución (un acto imperdonable). Sin embargo intentaré hacerlo sin revelar más de lo necesario para que los lectores que quieran resolverlo no tengan todo a la vista de una sola vez. He tratado de darle la interactividad necesaria para que se pueda disfrutar cada etapa.

"Dados 6 puntos en el interior de un círculo de radio 1, 
siempre hay dos de ellos que se encuentran 
a distancia menor a 1 entre sí"

(fuente: http://www.cut-the-knot.org)

Invito a explorar el enunciado con el siguiente sketch de Geogebra. 
Con el deslizador elije la cantidad de puntos que quieres poner en el círculo. Si la distancia entre los puntos es menor a 1 se dibuja un segmento punteado rojo.
Prueba a reubicar los puntos de forma que el segmento desaparezca. Luego ve agregando puntos y trata de conseguir lo mismo.


Recuerda que los puntos deben ser interiores y no pertenecer a la cfa. Si colocas un punto en la cfa se pintará de rojo y no está cumpliendo la consigna.


Ideas felices

Dividimos el círculo en seis sectores iguales.
Comprueba que es necesario que no haya dos puntos en el mismo sector.

Luego gira los radios verdes hasta que uno de los puntos pertenezca a uno de ellos

¿Puedes colocar puntos en los sectores que comparten ese radio?
¿Puedes colocar todos los puntos en los demás sectores?



Solución

Si es necesario, rotamos los sectores alrededor del centro hasta que uno de los puntos (digamos, C) quede en uno de los radios. Notemos que como cada sector es una parte de un triángulo de Reuleaux de ancho 1, es decir, no hay puntos en un sector que disten entre sí más de 1.








Si en uno de los sectores a los que pertenece C tenemos otro punto de nuestro conjunto, distaría de C no más de 1. Entonces nos quedarían 4 sectores para poner 5 puntos. Por el Principio del Palomar nos queda que en alguno de los sectores tendríamos 2 puntos y por lo tanto ellos distarían no más de 1 entre sí. El problema está resuelto.


Obsequio


"Dado un triángulo equilátero de lado 1 cm. 
Probar que si seleccionan 5 puntos interiores del triángulo , existen al menos dos cuya distancia es menor a ½"






Epílogo


Buceando por información para escribir esta entrada me encontré con una discusión divertida en http://mathoverflow.net/ . En un post se hace referencia al "día de PI" que, como sabemos, se celebra todos los 14 de marzo. 
Una de las respuestas propone la creación del Pigheon Hole Day. La discusión prosigue con las propuestas de fechas para la celebración donde se exponen ideas como cada Luna Azul que es la segunda luna llena que ocurre en un mismo mes de calendario (hecho que sucede más o menos cada 2.5 años). 
Pero la más votada sale de que los años no bisiestos son congruentes con 1 módulo 7. Esto signifíca que hay un día de la semana que aparece una vez más en el año. Ese día "extra" es, este año, un sábado. El día del Principio del Palomar de 2016 es precisamente hoy 5 de noviembre!

Merece una explicación, ¿verdad?

Cada mes del año 2016 tiene 4 o 5 sábados. Hay exactamente 7 meses que tienen 4 sábados. Por lo tanto al menos un cuarto del año tiene un solo mes de 4 sábados. Ese cuarto es el último del año y el mes es noviembre. A la hora de decidir qué sábado del mes de noviembre es más apropiado tenemos que el primero de ellos tiene la particularidad distintiva de tener un solo dígito.

Finalmente el día de la semana será coincidente con el del primer día del año por lo que en 2017 la fecha será domingo 5 de noviembre.

Claramente es un criterio arbitrario pero válido para determinar un día único en el año vinculado al Principio del Palomar. Los años bisiestos no podremos decidir el día, así que deberemos optar por descansar de tanta fiesta o festejar más veces.

Me gustaría mencionar y agradecer a Andrea Cassanello y Gastón Collazo colegas profesores con quienes estuve trabajando en estos problemas. Tenemos publicados algunos en el sitio ideas felices.



Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, 
que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.








miércoles, 28 de septiembre de 2016

¡¡¡Abajo Apolonio!!!



En el mes de Diciembre de 1959 durante unos quince días, fue organizada una conferencia sobre la enseñanza de las matemáticas a instancias de la Organización Europea de Cooperación Económica para revisar las enseñanzas de matemáticas en la Educación Básica y que tuvo lugar en Royaumont (Francia). A esta conferencia asistieron matemáticos, pedagogos, inspectores, profesores de escuela secundaria, en total unas 60 personas. 

Jean Dieudonné, que fue el conferenciante inicial, en su discurso de apertura declaró con fuerza que es necesario cancelar definitivamente el estudio de la geometría y que toda la enseñanza de las matemáticas debe basarse en la teoría de los conjuntos y de las estructuras. De hecho pronunció con energía: "¡Abajo Euclides! ¡Abajo el triángulo! Solo así se logrará acercar el estudio de la matemática secundaria a los cursos de la Facultad Universitaria de Matemática".

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

Eran épocas turbulentas con un mundo polarizado en el que algunas de estas personalidades estaban muy preocupadas porque la Unión Soviética estaba lanzando el Sputnik y había que generar rápidamente cerebros que emparejaran a occidente. Estabamos embarcados en esa desgraciada carrera a todos los niveles, afectando a la ciencia a la investigación y evidentemente también a la educación. Es así que surge el movimiento de la Matemática Moderna. En el mundo, la enseñanza de la geometría fue relegada a un plano inferior  y despreciada. Ignorándola como instrumento de razonamiento, ejemplo de práctica matemática y hasta como hecho cultural de la humanidad.

Por latitudes rioplatenses  nos mantuvimos en posturas más moderadas, como suele ser nuestra costumbre, y la geometría siguió latiendo. Mientras tanto vemos que en el resto del mundo comienzan a darse cuenta de algunos errores al respecto y la geometría vuelve a relucir y recuperar terreno. 

Me viene a la mente el sugerente título de una de las publicaciones de Coxeter y Greitzer, precisamente “Retorno a la Geometría”. Vale la pena rescatar la cita con la que comienza el prólogo de ese libro: 

"Aquel que desdeña la Geometría de Euclides es como el hombre que, al regresar de tierras extrañas, menosprecia su casa." H.G. Forder 

Así que definitivamente el título de esta entrada pretende ser una ironía sobre aquel ridículo grito. El cambio de protagonista, "Apolonio", se debe a que este geómetra griego, menos popular que Euclides, nos ha legado hermosos ejemplos. Cito alguno como sus famosos 10 problemas de tangencias y les dejo un link a un artículo de la revista SUMA. En una próxima entrada dedicaré algo de espacio a su obra.

A fines de 2015, visitó Montevideo, el matemático francés y medalla Fields, Cedric Villani. En su segunda charla, ofrecida a profesores de enseñanza media, se le preguntó por el contenido más apropiado que se debería ofrecer a estudiantes de dicho ciclo. Su respuesta fue contundente: La "Geometría del Triángulo".  Argumentó su respuesta comentando que no lo decía porque fuera un área de actual desarrollo de la matemática ni porque tuviera siempre aplicación directa a otras áreas sino porque su estudio tiene un fin en si mismo. Es un excelente campo de ensayo para los noveles estudiantes, del razonamiento matemático. Oportunidad de experimentar, apreciar y hasta disfrutar del trabajo matemático.

Creo que, lo que suele ocurrir, es que no llegamos a mostrarle a nuestros estudiantes al menos algunas de las inumerables joyas que podemos encontrar en la Geometría.
No dejan de sorprenderse cuando se les dice que, sin importar las características del triángulo, su Circuncentro, Baricentro y Ortocentro están siempre alineados en la que llamamos "Recta de Euler".


Si mueves los vértices del triángulo podrás observarlo

Y para alineaciones tenemos muchas otras que también son interesantes






Mueve el punto P hasta colocarlo en algún punto de la circunferencia. Verás que los puntos rojos quedarán alineados. La recta que los contiene se llama "Recta de Simson-Wallace".


Y se les cuenta a esos mismos estudiantes que Napoleón Bonaparte proponía problemas a los principales matemáticos de Francia siempre piden saber más sobre el asunto.


El problema propuesto por Napoleón dice que el triángulo cuyos vértices son cada centro de los equiláteros, es a su vez, equilátero!!





Aquí tenemos un triángulo cualquiera ABC y los respectivos triángulos equiláteros exteriores ABE, BCD y CAF.

Puedes explorar la figura y ver que no solo tenemos al "Triángulo de Napoleón" sino que además las circunferencias que circunscriben a los equiláteros se cortan en un mismo punto. Y que ese punto es también en el que concurren las rectas AD, BF y CE. Si no tienes suficiente aún podemos añadir que los "SEGMENTOS" AD, BF y CE tienen igual longitud.



Hace unos días, Miguel Angel Morales, en su blog Gaussianos, publica un lindo artículo sobre la increíble 

Circunferencia de Feuerbach, conocida también como la circunferencia de los 9 puntos. 

Además de las curiosidades propias de su determinación y que pueden ver en el artículo, añado la siguiente: 


La circunferencia de Feuerbach es simultáneamente tangente a otras cuatro vinculadas al mismo triángulo. A saber, la circunferencia inscrita y sus tres circunferencias exinscritas.




La "Geometría del Triángulo" , la de Euclides, la de la regla y el compás, la de siempre. Está plagada de hermosas joyas como estas. Claro que sin lugar a ninguna duda estas líneas se están escribiendo desde un lado apasionado. Sin duda es mucho pedir que todos tengamos los mismos gustos.


No quiero finalizar la entrada sin compartir un problema para despuntar el vicio. Les invito a disfrutarlo. A lo mejor en la próxima entrada conversamos sobre algunas de sus soluciones.

En el cuadrado de la figura, E es punto medio del lado CB y AF es perpendicular a DE. El triángulo AFB ¿Es isósceles?

Es un problema apto para todo público, así que anímense. 

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.






viernes, 23 de septiembre de 2016

Resolución de ecuaciones - Rescate geométrico (Parte II)

Esta es la continuación del artículo "Rescate geométrico" que iniciamos en nuestra entrada anterior. En dicho artículo analizamos métodos geométricos olvidados para la resolución de ecuaciones. En esta nueva parte se desarrolla un método constructivo para obtener las raíces de una ecuación polinómica empleando regla y compás

Circunferencia de Carlyle





Otro método geométrico interesante es el ideado por Eduard Lill (1830-1900), Ingeniero Austríaco que en 1867 en la Exposition Universelle en París, presentó una máquina mecánica para determinar raíces de polinomios.


Thomas Carlyle (1795-1881) fue un historiador, escritor y poeta escocés que gustaba de la matemática y en sus ratos libres se entretenía con construcciones geométricas con regla y compás.

Carlyle empleó y difundió el método de Eduard Lill restringido a ecuaciones cuadráticas. Por ese motivo a la construcción que se debe realizar se la denomina "Circunferencia de Carlyle".


Descripción del método:


Si se quiere hallar las raíces de  $$ax^{2}+bx+c=0$$

primero la reescribimos de la forma $$x^{2}-Sx+P=0$$

En el sistema cartesiano de coordenadas se toman los puntos A(0,1) y D(S,P).

La circunferencia de diámetro AD corta al eje de abscisas en puntos cuyas abscisas son las raíces del polinomio. (si es tangente, la raíz es doble y si no corta la ecuación no tiene raíces reales).






Dos justificaciones de la construcción, una utilizando Geometría Analítica (Ecuación de la circunferencia) y otra aplicando Geometría Euclideana (Potencia, cuadriláteros cíclicos) quedan propuestas para realizar como actividades.


Método de Lill

Ya comentamos en el apartado anterior que Lill ideó un método geométrico para construir con regla y compás soluciones de ecuaciones polinómicas. La circunferencia de Carlyle es una reducción del método para el caso de cuadráticas. Pero el sistema ideado por Lill puede trabajar incluso con ecuaciones cúbicas y mayores grados.


Descripción del método


Por ejemplo si se quieren hallar las raíces del polinomio

$$4x^{3}+3x^{2}-2x-1$$

procedemos de la siguiente manera:

  • En el sistema cartesiano de coordenadas, partimos desde el origen y dibujamos un segmento de 4 unidades de longitud hacia la derecha porque el primer coeficiente es 4. 
  • Luego continuamos la poligonal hacia arriba 3 unidades porque el segundo coeficiente es un 3. 

Notemos que giramos 90º en sentido antihorario, si el coeficiente hubiera sido negativo el giro sería horario.



  • Después dibujamos un segmento de longitud 2 hacia la derecha porque el tercer coeficiente es un -2 y entonces el giro fue horario. 
  • Finalmente dibujamos un segmento de 1 unidad de longitud hacia arriba porque el término independiente es -1.

La poligonal resultante es la azul en el dibujo y es una forma gráfica no habitual de representar un polinomio.

A continuación comenzamos a dibujar una nueva poligonal roja partiendo del origen pero abriendo un ángulo (alfa) con el primer segmento azul.


  • El primer segmento tiene por extremos el origen de coordenadas y un punto de la recta que contiene al segundo segmento azul. 
  • Luego se gira 90º en sentido horario porque el segundo coeficiente es positivo. 
  • Se continúa la poligonal hasta cortar la recta que contiene al tercer segmento. 
  • Se gira 90º en sentido antihorario porque el tercer coeficiente es negativo. 
  • Finalmente prolongamos la poligonal hasta cortar la recta que contiene al cuarto segmento azul.

Si ambas poligonales tienen el mismo punto final, el valor -tan(alfa) es raíz del polinomio!!!



En la siguiente figura animada tenemos graficadas ambas poligonales. Puedes "mover" el punto azul para tratar de conseguir que los extremos coincidan. También tenemos graficado el polinomio y un punto de coordenadas (-tan(alfa), P(-tan(alfa))) para observar cuando se obtienen las raíces.

En el caso del ejemplo tenemos tres raíces reales, búscalas.






Biografía de Eduard Lill



Lecturas complementarias



Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill, Thomas C. Hull
(Resolviendo ecuaciones cúbicas con plieges)

Margharita P. Beloch fue la primera persona, en 1936, que mostó como con origamis (plegando papel) era posible resolver ecuaciones cúbicas e ideó un método tan poderoso como las construcciones con regla y compás para hacerlo. El artículo presenta la prueba haciendo uso del método geométrico de Eduard Lill para encontrar raíces de ecuaciones polinómicas.


Carlyle Circles and the Lemoine simplicity of polygon constructions, Duane W. DeTemple.

Artículo que muestra la aplicación del método de Lill y la reducción de Carlyle para la construcción de polígonos regulares. En particular se muestra el caso del pentágono regular, el polígono regular de 17 lados y el 65537-gono!!

Project Origami: Activities for Exploring Mathematics

Libro de actividades que incluye la descripción del método de Lill para ejecutar con pliegues de papel.


Referencias


Who was Who in polynomial factorization, Joachim von zur Gathen,
Universitat Bonn
A History of Mathematics, Florian Cajori, 1909. 

HISTORY OF MODERN MATHEMATICS, DAVID EUGENE SMITH, 1906
First Course in the Theory of Equations, Leonard Eugene Dickson, 1922
Mathematics and Its History, John Stillwell

Planteamiento y Solución de Problemas de Ecuaciones,
Usando Estrategias y Métodos Propuestos en el
Desarrollo Histórico de la Teoría de Ecuaciones, Luis Enrique Zambrano García, Universidad Nacional de Colombia, Tésis de Maestría
Geometric Construction of Roots of Quadratic Equation
DU COMPAS AUX INTEGRAPHES : LES INSTRUMENTS DU CALCUL GRAPHIQUE,
Dominique TOURNES
Vorlesungen Uber Die Entwicklung Der Mathematik Im 19. Jahrhundert, Felix Klein 
Machines for solving algebraic equations, J. S. Frame
NOTE ON LILL'S METHOD OF SOLUTION OF NUMERICAL EQUATIONS, B. MEULENBELD
M. E. Lill: Résolution Graphique des équations numériques de tous les degrées à une seule inconnue, et description d'un instrument inventé dans ce but, Nouvelles Annales de Mathematiques, Series 2, Vol. 6, 1867
CONSTRUCTIONS D’EQUATIONS ALGEBRIQUES
Le Calcul Simplifié Par Les Procédés Mécaniques Et Graphiques: Histoire Et Description Sommaire Des Instruments Et Machines À Calculer, Tables, Abaques Et Nomogrammes (1905) del francés Maurice D´Ocagne

Animation for Lill's Method by Dan Kalman
Theory of equations" de H. W. Turnbull (1946)
Project Origami: Activities for Exploring Mathematics

martes, 20 de septiembre de 2016

Resolución de ecuaciones - Rescate geométrico (Parte I)



El planteo de esta entrada es rescatar métodos gráficos de resolución de ecuaciones por su valor histórico. Además dan una alternativa que puede ser de provecho para los estudiantes que se inician en álgebra pensando que es bueno poder mostrarles distintas representaciones para abordar un mismo problema.





Introducción



La búsqueda de raíces de polinomios tiene la siguiente particularidad: Luego de un primer impulso en la Grecia clásica en Babilonia y en lo que ahora es India (Euclides, Brahmagupta, Bhaskara) hubo una gran brecha temporal donde no se registraron progresos. Recién en el Renacimiento, con el florecimiento de un lenguaje matemático más algebraico se retoman los avances (Cardano, Tartaglia, Viete). Generalmente en los cursos actuales de introducción al álgebra en enseñanza media es frecuente que se trabaje con los métodos algebraicos de esta segunda etapa. 



Los métodos gráficos de la antigüedad han sido olvidados.



Un Best- Seller

Si nos referimos al libro récord de todos los tiempos en cuanto a geometría se refiere, "Elementos de Euclides" vigente desde hace 2400 años podemos encontrarnos con que en la proposición 4 del Libro II dice:


"Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera 
es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el 
rectángulo comprendido por los segmentos." 

Expresado en una notación más actual sería equivalente a
$$\left(a+b \right ) ^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$$


Fórmula que conocemos como "Cuadrado del binomio"

Relacionar el texto de la proposición puede no ser evidente para todos y eso debe tener que ver con que la notación algebraica de la fórmula se desarrolló muchos siglos después a la proposición de Euclides. 


Pero podemos tender un puente entre el texto y la fórmula mediante la siguiente imagen.




Con este ejemplo queremos ilustrar el hecho de que muchas relaciones algebraicas han tenido inicialmente su origen en razonamientos de tipo geométrico.

Sin ir mucho más lejos podemos encontrar el LIBRO VI de los Elementos de Euclides proposiciones que muestran cómo resolver ciertas ecuaciones cuadráticas empleando métodos geométricos.

Observemos por ejemplo la siguiente figura:


De buenas a primeras la figura puede no significar nada o muchas cosas. ¿que tal si agregamos que la figura representa la factorización de un polinomio de segundo grado donde el cuadrado grande tiene lado x y los cuadraditos de la esquina inferior derecha tienen lado 1 ? ¿te animas a determinarlo? ¿y cuál es su descomposición factorial?



Es posible que las siguiente imágenes aclaren un poco el panorama:


Si eso no es suficiente puedes ver el video donde mostramos la factorización propuesta





Así es como factorizaban los griegos primero y los árabes después hasta hace unos mil años atrás.

               






Esta forma de trabajar con cuadráticas considerando los "cuadrados" como "áreas de cuadrados" y los productos de magnitudes de primer grado como "áreas de rectángulos" han caído en el olvido y han sido sustituidas por un lenguaje algebraico cargado de notación procurando formalización. Con el nuevo lenguaje del álgebra se obtienen muchos beneficios indiscutibles pero el costo es, a veces, una pérdida en la visualización e intuición. De todas formas, este tipo de visualizaciones forman parte del trabajo cotidiano de los matemáticos y de toda persona que quiera comprender y utilizar estas herramientas matemáticas.



¿A qué llamamos completar el cuadrado?



Por lo general con ese título nos referimos a un procedimiento algebraico alternativo a la fórmula de Bhaskara pero observemos un procedimiento geométrico que bien puede llevar el mismo nombre.





Para ver la deducción de la fórmula conocida como " de Bhaskara" pueden consultarse este recurso:



Método de Euclides

Para ecuaciones de la forma



$$x^{2}+nx=m$$

con valores positivos de n y m, los griegos empleaban también el siguiente método



Se construye un segmento AB de longitud n 

Sobre la recta perpendicular a AB por B se construye el segmento BD de longitud m, 

Con centro en el punto medio C del segmento AB se construye una circunferencia que contiene a D 

El punto de corte de la cfa. con semirrecta de origen A que contiene a B es E. 

Hecha la construcción, la longitud del segmento BE corresponde a una de las raíces positivas de la ecuación en caso de que tenga.

En la siguiente presentación hecha con geogebra puedes ensayar la construcción cambiando los parámetros m y n





Les proponemos como ejercicio ensayar para qué valores de los parámetros m y n es posible obtener solución con este método.

Hasta aquí llegamos por la entrada de hoy. Tendremos una nueva parte en unos días con la descripción de otro método debido a Eduard Lill y Thomas Carlyle.